Ejtrig
Faltan varias correcciones
- Determine los siguientes valores:
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- $\cos(15\pi)$
- $\mathrm{sen}\left(\frac{8\pi}{3}\right)$
- $\mathrm{sen}\left(\frac{-14\pi}{3}\right)$
- $\cos\left(\frac{47\pi}{3}\right)$
- $\cos\left(\frac{-56\pi}{3}\right)$
- $\cos\left(\frac{-126\pi}{3}\right)$
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- Calcule$\mathrm{sen}(t)$ usando la información dada:
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- $0<t<\pi$ y$\cos(t)=\frac{3}{5}$
- $\pi<t<2\pi$ y$\cos(t)=-\frac{3}{5}$
- $5\pi<t<6\pi$ y$\cos(t)=-\frac{5}{13}$
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- Calcule$\cos(t)$ usando la información dada:
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- $\frac{\pi}{2}<t<\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=\frac{3}{5}$
- $\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=-\frac{3}{5}$
- $\frac{7\pi}{2}<t<4\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=-\frac{5}{13}$
- $\frac{17\pi}{2}<t<9\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=\frac{12}{17}$
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- Encuentre$\mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2}\right)$,$\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ y$\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$ dado que:
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- $\frac{\pi}2\leq x\leq \pi$ y$\mathrm{sen}(x)=\dfrac{5}{13}$
- $\frac{3\pi}2\leq x\leq 2\pi$ y$\cos(x)=\dfrac{3}{7}$
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- Demuestre las siguientes identidades:
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- $\cosec^{2}{x}-\cot{x}\cos{x}\cosec{x} =1$
- $\dfrac{\tan{x}}{\sec{x}-1} + \dfrac{\tan{x}}{\sec{x}+1} = 2\cosec{x}$
- $(\mathrm{sen}{x}+\cosec{x})^{2} + (\cos{x}+\sec{x})^{2}=\tan^{2}{x}+\cot^{2}{x}+7$
- $\cot{x}=\dfrac{2\mathrm{sen}{x}\cos{x}-\cos{x}}{1-\mathrm{sen}{x}+\mathrm{sen}^{2}{x}-\cos^{2}{x}}$
- $2\sec^{2}{x}-\sec^{4}{x}-2\cosec^{2}{x}+\cosec^{4}=\dfrac{1-\tan^{8}{x}}{\tan^{4}{x}}$
- $\dfrac{\cot{x}\cos{x}}{\cot{x}+\cos{x}} = \dfrac{\cot{x}-\cos{x}}{\cot{x}\cos{x}}$
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- Demuestre:
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- $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cot(x)$
- $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)$
- $\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)$
- $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$
- $\tan(3x)=\tan(x)\cdot\dfrac{3-\tan^2(x)}{1-3\tan^2(x)}$
- $\mathrm{sen}(x)=\dfrac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
- $\cos(x)=\dfrac{1-\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
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- Demuestre las siguientes relaciones de recurrencia:
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- $\ptodo{n\in\N}\mathrm{sen}(nx)=2\cos(x)\mathrm{sen}((n-1)x)-\mathrm{sen}((n-2)x)$
- $\ptodo{n\in\N}\cos(nx)=2\cos(x)\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$
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- Demuestre:
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- $\cos(x)+\cos(y)=2\cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$
- $2\cos(x)\cos(y)=\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$
- $2\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)=\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$
- $2\mathrm{sen}(x)\cos(y)=\left(\mathrm{sen}(x+y)+\mathrm{sen}(x-y)\right)$
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- Encuentre los siguientes valores:
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- $\mathrm{Arcsen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
- $\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{2}\right)$
- $\mathrm{Arctan}(0)$
- $\mathrm{Arctan}(-\sqrt{3})$
- $\mathrm{Arcsen}(-1)$
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- Determine los conjuntos siguientes:
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- $\text{arcsen}(0)$
- $\text{arccos}(-1)$
- $\text{arctan}(\sqrt{3})$
- $\text{arctan}(-1)$
- $\text{arcsen}(-1)$
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- Demuestre:
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- $\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{3} \right)=\mathrm{Arctan}(1)$
- $\mathrm{Arctan}\left(\frac{3}{5} \right)+\mathrm{Arcsen}\left(\frac{3}{5}\right)=\mathrm{Arctan}\left(\frac{27}{11}\right)$
- $2\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{8}\right)+\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{7}\right)+2\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{\pi}{4}$
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- Para todo${x\in[-1,1]}$:
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- $\mathrm{Arccos}(x)+\mathrm{Arcsen}(x)=\dfrac{\pi}{2}$
- $\cos(\mathrm{Arcsen}(x) )=\sqrt{1-x^2}$
- $\tan(\mathrm{Arcsen}(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\tan(\mathrm{Arccos}(x))=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
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- Demuestre, indicando además para qué valores de$x$ tiene sentido:
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- $\mathrm{sen}(\mathrm{Arctan}(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
- $\cos(\mathrm{Arctan}(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
- $\mathrm{Arcsec}(x)=\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{x}\right)$
- $\mathrm{Arccosec}(x)=\mathrm{Arcsen}\left(\frac{1}{x}\right)$
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- Evalúe las siguientes expresiones:
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- $\mathrm{sen}\left(\mathrm{Arccos}\left(\frac{-2}{3}\right) \,\right)$
- $\tan\left(\mathrm{Arcsen}\left(\frac{-3}{4}\right) \,\right)$
- $\cos\left(\mathrm{Arctan}\left(\frac{15}{8}\right)-\mathrm{Arcsen}\left(\frac{7}{25}\right) \right)$
- $\mathrm{sen}\left(2\mathrm{Arctan}(3)\right)$
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- Si$\cot(x)=\dfrac{p}{q}$, simplifique de manera que no quede$x$ en el resultado\[\frac{p\cos(x)-q\mathrm{sen}(x)}{p\cos(x)+q\mathrm{sen}(x)}\]
- Encuentre los valores de$x\in[0,2\pi]$ que satisfacen las siguientes ecuaciones trigonométricas:
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- $\mathrm{sen}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
- $\cos^{2}{x}=\dfrac{1}{2}$
- $\sec{x}=-\sqrt{2}$
- $\tan^{2}{x} = \dfrac{1}{3}$
- $\tan{x}=\cot{\dfrac{\pi}{4}}$
- $\mathrm{sen}{x}+\sqrt{3}\cos{x}=1$.
- $\cot{x}+ 3\tan{x} =5\cosec{x}$
- $\tan(2x+\frac{\pi}{4})\cdot\tan(\frac{\pi}{2}-x)=1$
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- Determine el conjunto de todos los$x\in\R$ tales que$4\mathrm{sen}^2(x) = 1$
- Resuelva la ecuación \[2\mathrm{sen}^2(x)+7\cos(x)=5\]%\pp
- Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
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- $\cos{2x}=\cos{x}-\mathrm{sen}{x}$.
- $\mathrm{sen}{x}+\cos{2x}-\cos{4x}=0$.
- $\mathrm{sen}{5x}-\mathrm{sen}{3x}= \sqrt{2}\cos{4x}$.
- $\tan{2x}=\mathrm{sen}{4x}$.
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- Resuelva las siguientes ecuaciones:
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- $2\mathrm{Arctan}(1/2)+\mathrm{Arccos}(3/5)+\mathrm{Arcsen}(1/x)=\pi$ \resp{$]]x=\dfrac{25}{24}$]]}
- $\mathrm{Arctan}(x+1)-\mathrm{Arctan}(x-1)=\mathrm{Arctan}(2)$ \resp{$x=\pm 1$}
- $\mathrm{Arctan}(x)+\mathrm{Arctan}(1-x)=2\mathrm{Arctan}\bigl(\sqrt{x-x^2}\bigr)$ \resp{$]]x=1/2$]]}
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- Resuelva el triángulo ABC (no use calculadora) si:
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- $a=10$,$\alpha=15^{\circ}$,$\gamma=60^{\circ}$
- $\alpha=105^{\circ}$,$\gamma=60^{\circ}$,$b=4$
- $a=1$,$b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$c=\dfrac{1}{2}$
- $\alpha=75^{\circ}$,$\beta=30^{\circ}$,$b=\sqrt{8}$
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- Demuestre que en todo triángulo cuyos lados miden$a$,$b$ y$c$ y cuyos ángulos son$\alpha$,$\beta$ y$\gamma$ respectivamente, se cumple:
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- $2\left(a\mathrm{sen}^2\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) + c\mathrm{sen}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \right)=a-b+c$
- Si$\mathrm{sen}(\gamma)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen}(\beta)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)}$ entonces$\gamma=\dfrac{\pi}{2}$
- $\dfrac{\cos(\beta)}{\cos(\gamma)}=\dfrac{c-b\cos(\alpha)}{b-c\cos(\alpha)}$
- Si$\alpha=30^{\circ}$ y$\beta=50^{\circ}$ entonces$c^2=b(a+b)$
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