Ejtrig

Faltan varias correcciones

  1. Determine los siguientes valores:
          1. $\cos(15\pi)$
          2. $\mathrm{sen}\left(\frac{8\pi}{3}\right)$
          3. $\mathrm{sen}\left(\frac{-14\pi}{3}\right)$
          4. $\cos\left(\frac{47\pi}{3}\right)$
          5. $\cos\left(\frac{-56\pi}{3}\right)$
          6. $\cos\left(\frac{-126\pi}{3}\right)$
  2. Calcule$\mathrm{sen}(t)$ usando la información dada:
          1. $0<t<\pi$ y$\cos(t)=\frac{3}{5}$
          2. $\pi<t<2\pi$ y$\cos(t)=-\frac{3}{5}$
          3. $5\pi<t<6\pi$ y$\cos(t)=-\frac{5}{13}$
  3. Calcule$\cos(t)$ usando la información dada:
          1. $\frac{\pi}{2}<t<\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=\frac{3}{5}$
          2. $\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=-\frac{3}{5}$
          3. $\frac{7\pi}{2}<t<4\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=-\frac{5}{13}$
          4. $\frac{17\pi}{2}<t<9\pi$ y$\mathrm{sen}(t)=\frac{12}{17}$
  4. Encuentre$\mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2}\right)$,$\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$ y$\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)$ dado que:
          1. $\frac{\pi}2\leq x\leq \pi$ y$\mathrm{sen}(x)=\dfrac{5}{13}$
          2. $\frac{3\pi}2\leq x\leq 2\pi$ y$\cos(x)=\dfrac{3}{7}$
  5. Demuestre las siguientes identidades:
          1. $\cosec^{2}{x}-\cot{x}\cos{x}\cosec{x} =1$
          2. $\dfrac{\tan{x}}{\sec{x}-1} + \dfrac{\tan{x}}{\sec{x}+1} = 2\cosec{x}$
          3. $(\mathrm{sen}{x}+\cosec{x})^{2} + (\cos{x}+\sec{x})^{2}=\tan^{2}{x}+\cot^{2}{x}+7$
          4. $\cot{x}=\dfrac{2\mathrm{sen}{x}\cos{x}-\cos{x}}{1-\mathrm{sen}{x}+\mathrm{sen}^{2}{x}-\cos^{2}{x}}$
          5. $2\sec^{2}{x}-\sec^{4}{x}-2\cosec^{2}{x}+\cosec^{4}=\dfrac{1-\tan^{8}{x}}{\tan^{4}{x}}$
          6. $\dfrac{\cot{x}\cos{x}}{\cot{x}+\cos{x}} = \dfrac{\cot{x}-\cos{x}}{\cot{x}\cos{x}}$
  6. Demuestre:
          1. $\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cot(x)$
          2. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{sen}(x)$
          3. $\mathrm{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)$
          4. $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$
          5. $\tan(3x)=\tan(x)\cdot\dfrac{3-\tan^2(x)}{1-3\tan^2(x)}$
          6. $\mathrm{sen}(x)=\dfrac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
          7. $\cos(x)=\dfrac{1-\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}$
  7. Demuestre las siguientes relaciones de recurrencia:
          1. $\ptodo{n\in\N}\mathrm{sen}(nx)=2\cos(x)\mathrm{sen}((n-1)x)-\mathrm{sen}((n-2)x)$
          2. $\ptodo{n\in\N}\cos(nx)=2\cos(x)\cos((n-1)x)-\cos((n-2)x)$
  8. Demuestre:
          1. $\cos(x)+\cos(y)=2\cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$
          2. $2\cos(x)\cos(y)=\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$
          3. $2\mathrm{sen}(x)\mathrm{sen}(y)=\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$
          4. $2\mathrm{sen}(x)\cos(y)=\left(\mathrm{sen}(x+y)+\mathrm{sen}(x-y)\right)$
  9. Encuentre los siguientes valores:
          1. $\mathrm{Arcsen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
          2. $\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{2}\right)$
          3. $\mathrm{Arctan}(0)$
          4. $\mathrm{Arctan}(-\sqrt{3})$
          5. $\mathrm{Arcsen}(-1)$
  10. Determine los conjuntos siguientes:
          1. $\text{arcsen}(0)$
          2. $\text{arccos}(-1)$
          3. $\text{arctan}(\sqrt{3})$
          4. $\text{arctan}(-1)$
          5. $\text{arcsen}(-1)$
  11. Demuestre:
          1. $\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{2}\right)+\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{3} \right)=\mathrm{Arctan}(1)$
          2. $\mathrm{Arctan}\left(\frac{3}{5} \right)+\mathrm{Arcsen}\left(\frac{3}{5}\right)=\mathrm{Arctan}\left(\frac{27}{11}\right)$
          3. $2\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{8}\right)+\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{7}\right)+2\mathrm{Arctan}\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{\pi}{4}$
  12. Para todo${x\in[-1,1]}$:
          1. $\mathrm{Arccos}(x)+\mathrm{Arcsen}(x)=\dfrac{\pi}{2}$
          2. $\cos(\mathrm{Arcsen}(x) )=\sqrt{1-x^2}$
          3. $\tan(\mathrm{Arcsen}(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
          4. $\tan(\mathrm{Arccos}(x))=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
  13. Demuestre, indicando además para qué valores de$x$ tiene sentido:
          1. $\mathrm{sen}(\mathrm{Arctan}(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$
          2. $\cos(\mathrm{Arctan}(x))=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
          3. $\mathrm{Arcsec}(x)=\mathrm{Arccos}\left(\frac{1}{x}\right)$
          4. $\mathrm{Arccosec}(x)=\mathrm{Arcsen}\left(\frac{1}{x}\right)$
  14. Evalúe las siguientes expresiones:
          1. $\mathrm{sen}\left(\mathrm{Arccos}\left(\frac{-2}{3}\right) \,\right)$
          2. $\tan\left(\mathrm{Arcsen}\left(\frac{-3}{4}\right) \,\right)$
          3. $\cos\left(\mathrm{Arctan}\left(\frac{15}{8}\right)-\mathrm{Arcsen}\left(\frac{7}{25}\right) \right)$
          4. $\mathrm{sen}\left(2\mathrm{Arctan}(3)\right)$
  15. Si$\cot(x)=\dfrac{p}{q}$, simplifique de manera que no quede$x$ en el resultado\[\frac{p\cos(x)-q\mathrm{sen}(x)}{p\cos(x)+q\mathrm{sen}(x)}\]
  16. Encuentre los valores de$x\in[0,2\pi]$ que satisfacen las siguientes ecuaciones trigonométricas:
          1. $\mathrm{sen}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
          2. $\cos^{2}{x}=\dfrac{1}{2}$
          3. $\sec{x}=-\sqrt{2}$
          4. $\tan^{2}{x} = \dfrac{1}{3}$
          5. $\tan{x}=\cot{\dfrac{\pi}{4}}$
          6. $\mathrm{sen}{x}+\sqrt{3}\cos{x}=1$.
          7. $\cot{x}+ 3\tan{x} =5\cosec{x}$
          8. $\tan(2x+\frac{\pi}{4})\cdot\tan(\frac{\pi}{2}-x)=1$
  17. Determine el conjunto de todos los$x\in\R$ tales que$4\mathrm{sen}^2(x) = 1$
  18. Resuelva la ecuación \[2\mathrm{sen}^2(x)+7\cos(x)=5\]%\pp
  19. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
          1. $\cos{2x}=\cos{x}-\mathrm{sen}{x}$.
          2. $\mathrm{sen}{x}+\cos{2x}-\cos{4x}=0$.
          3. $\mathrm{sen}{5x}-\mathrm{sen}{3x}= \sqrt{2}\cos{4x}$.
          4. $\tan{2x}=\mathrm{sen}{4x}$.
  20. Resuelva las siguientes ecuaciones:
          1. $2\mathrm{Arctan}(1/2)+\mathrm{Arccos}(3/5)+\mathrm{Arcsen}(1/x)=\pi$ \resp{$]]x=\dfrac{25}{24}$]]}
          2. $\mathrm{Arctan}(x+1)-\mathrm{Arctan}(x-1)=\mathrm{Arctan}(2)$ \resp{$x=\pm 1$}
          3. $\mathrm{Arctan}(x)+\mathrm{Arctan}(1-x)=2\mathrm{Arctan}\bigl(\sqrt{x-x^2}\bigr)$ \resp{$]]x=1/2$]]}
  21. Resuelva el triángulo ABC (no use calculadora) si:
          1. $a=10$,$\alpha=15^{\circ}$,$\gamma=60^{\circ}$
          2. $\alpha=105^{\circ}$,$\gamma=60^{\circ}$,$b=4$
          3. $a=1$,$b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$c=\dfrac{1}{2}$
          4. $\alpha=75^{\circ}$,$\beta=30^{\circ}$,$b=\sqrt{8}$
  22. Demuestre que en todo triángulo cuyos lados miden$a$,$b$ y$c$ y cuyos ángulos son$\alpha$,$\beta$ y$\gamma$ respectivamente, se cumple:
          1. $2\left(a\mathrm{sen}^2\left(\dfrac{\gamma}{2}\right) + c\mathrm{sen}^2\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \right)=a-b+c$
          2. Si$\mathrm{sen}(\gamma)=\dfrac{\mathrm{sen}(\alpha)+\mathrm{sen}(\beta)}{\cos(\alpha)+\cos(\beta)}$ entonces$\gamma=\dfrac{\pi}{2}$
          3. $\dfrac{\cos(\beta)}{\cos(\gamma)}=\dfrac{c-b\cos(\alpha)}{b-c\cos(\alpha)}$
          4. Si$\alpha=30^{\circ}$ y$\beta=50^{\circ}$ entonces$c^2=b(a+b)$
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