Inducción Matemática

El principio de inducción es una herramienta fundamental en matemáticas. Permite establecer ciertas leyes universales acerca de los números naturales. Por ejemplo, considere la siguiente afirmación:

(1)
\begin{align} n<2^{n} \forall n \in \mathbb{N} \end{align}

Sin mucho esfuerzo se verifica que esta afirmación es válida cuando $n$ toma cualquiera de los valores $1,2,3$ y el lector podría, con un poco de paciencia, verificarla para muchos otros valores de $n$. Sin embargo, esto no justifica que esa afirmación sea verdadera. La herramienta usada para demostrar afirmaciones como la enunciada en (1), y otras similares, es el Principio de Inducción Matemática.

Principio del buen orden


Partimos con el conjunto de los números naturales (sin construcción) y de forma intuitiva:

(2)
\begin{align} \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} \end{align}

El Principio del buen orden establece que "Todo conjunto no vacío $A$ de números naturales ($\emptyset\neq A\subseteq \mathbb{N}$) tiene un menor elemento".

Conjunto bien ordenado

Para poner el principio del buen orden en un contexto más amplio, definiremos acá lo que significa que un conjunto esté bien ordenado. En primer lugar, un orden en un conjunto es una relación denotada usualmente por el símbolo $\leq$ que es refleja, transitiva y antisimétrica. Si además, para cada par de elementos $a,b$ del conjunto se cumple $a\leq b$ ó $b\leq a$, diremos que el orden es un orden total.

Un elemento $a$ de un conjunto ordenado se llama menor elemento si $a\leq b$ para todo elemento $b$ del conjunto.

Podemos ahora definir lo que es un conjunto bien ordenado. Un conjunto bien ordenado es un conjunto con un orden que cumple que cualquier subconjunto no vacío tiene un menor elemento.

Ejemplos:

  1. $\displaystyle A = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \frac {1}{n}, \dots\} \subseteq \mathbb{Q}$, no tiene un menor elemento, ya que cualquier elemento en $A$ se puede escribir como $\dfrac{1}{n}$ y se puede encontrar otro elemento en $A$ que es menor (por ejemplo $\dfrac{1}{n+1}$).
  2. Sea $S = \{1,2,3\}$. El conjunto $S$ está bien ordenado ya que, como se puede observar directamente, todo subconjunto no vacío tiene un menor elemento. Por ejemplo, 1 es el mínimo elemento del conjunto $S$ y 2 es el menor elemento de $\{2,3\}$. Por lo tanto, el conjunto $S$ está bien ordenado.
  3. Sea $A= \{x\in \mathbb{Q} | x>0 \wedge x^{2}\geq 2 \}$. Si analizamos el conjunto, nos quedaría que $x>0 \wedge x>\sqrt{2}$. Por lo tanto, el elemento minimal del conjunto $A$ sería $\sqrt{2}$, pero $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Por lo tanto, $A$ no está bien ordenado pues ni siquiera tiene un menor elemento.
  4. $C= \{21,22,23,24,25, \dots\}$. Evidentemente, $21$ es el elemento mínimo del conjunto $C$. Por lo tanto, $C$ está bien ordenado y $C$ es el conjunto de todos los números naturales mayores que $20$

Podemos observar en general, que si un conjunto está bien ordenado, también lo estará cualquier subconjunto (con el orden heredado).

El siguiente "ejemplo" tiene problemas serios, pues no se entiende cuáles son los elementos del conjunto.
Sea $W= \{n \in \mathbb{N} | n^{1} + n^{2} + n^{3} + \dots + n^{5.000}} \}$. Como $n \in \mathbb{N}$, entonces $n>0$. Por lo tanto, $n^{1}<n^{2}<n^{3}<n^{5.000}$. En consecuencia, el conjunto $W$ tiene un menor elemento. Por lo tanto $W$ está bien ordenado.

Finalmente podemos notar que el principio del buen orden establece que el conjunto de los números naturales (enteros positivos) está bien ordenado con el orden usual.

Consecuencias del Principio de buen orden


Una consecuencia del principio del buen orden es el principio de inducción (en realidad ambos principios son equivalentes).

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