De las funciones conjugado $( \overline{z} )$, módulo $(\vert z\vert)$, parte real $( \Re(z) )$ y parte imaginaria $( \Im(z))$, para todo $z$ y $w$ complejos:
$a)$ $z = \Re(z) + i\Im(z)$
$b)$ $\overline{(\overline{z})} = z$
$c)$ $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
$d)$ $\overline{zw} = \overline{z} \cdotp \overline{w}$
$e)$ $z + \overline{z} = 2\Re(z)$
$f)$ $z - \overline{z} = 2\Im(z)$
$g)$ $z = \overline{z} \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}$
$h)$ $z = \vert z\vert \Leftrightarrow z\in {\mathbb{R}_0}^{+}$
$i)$ $z\overline{z} = {\vert z\vert}^{2}$
$j)$ $\vert z\vert \geq 0$
$k)$ $\vert z\vert = 0 \Leftrightarrow z = 0$
$l)$ $\vert -z\vert = \vert iz\vert = \vert \overline{z}\vert = \vert z\vert$
$m)$ $\vert wz\vert = \vert z\vert \cdotp \vert w\vert$
$n)$ $z \neq 0 \Rightarrow z \cdotp (\frac{\overline{z}}{{\vert z\vert}^{2}}) = 1$
$o)$ $\vert \frac{z}{w}\vert = \frac{\vert z\vert}{\vert w\vert}$
$p)$ $\vert \Re(z) \vert \leq \vert z\vert$
$q)$ $\vert \Im(z) \vert \leq \vert z\vert$
Demostración de las propiedades dadas
$D: a)$ sea $z$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$
observamos que:
$\Re(z) = a$ y $\Im(z) = b$
Luego $z = \Re(z) + i\Im(z)$
$D: b)$ sea $z$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$
Luego
$\overline{z} = a - ib$
$\overline{(\overline{z})} = a + ib$
Por lo tanto $\overline{(\overline{z})} = z$
$D: c)$ sea $z,w$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$, $w = c + id$ con $a,b,c,d\in \mathbb{R}$
Luego
$\overline{z+w} =\overline{a + ib + c + id}$
reordenando adecuadamente
$\overline{z+w} =\overline{(a + c) + i( b + d)} = (a + c) - i( b + d) = a + c - ib - id = a - ib + c - id$
sabemos que
$\overline{z} = a - ib$ y $\overline{w} = c - id$
luego
$\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
$D: d)$ sea $z,w$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$, $w = c + id$ con $a,b,c,d\in \mathbb{R}$
luego
$\overline{zw} = \overline{(a+ib)(c+id)}$
multiplicando
$\overline{zw} = \overline{ac + iad + ibc + bci^{2}}$
sabemos que
$i^{2} = -1$
reordenando adecuadamente
$\overline{zw} = \overline{ac + iad + ibc - bc} = \overline{ac - bc + iad + ibc} = \overline{(ac - bc) + i(ad + bc)} = (ac - bc) - i(ad + bc) = ac - bc - iad - ibc = (a - ib)(c - id)$
sabemos que
$\overline{z} = a - ib$ y $\overline{w} = c - id$
luego
$\overline{zw} = \overline{z}\cdotp\overline{w}$
$D: e)$ sea $z$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$
sabemos que
$\overline{z} = a - ib$
luego
$z + \overline{z} = a + ib + a - ib = a + a = 2a$
sabemos que
$a = \Re(z)$
por lo tanto
$z + \overline{z} = 2\Re(z)$
$D: f)$ sea $z$\in \mathbb{C}$ de forma $z = a + ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$
sabemos que
$\overline{z} = a - ib$
luego
$z - \overline{z} = a + ib - (a - ib) = a - a + ib + ib = 2ib$
sabemos que
$b = \Im(z)$
por lo tanto
$z - \overline{z} = 2i\Im(z)$
$D: g)$ supongamos que $z = \overline{z}$ y $z\in\mathbb{C}$ entonces
sea $z$ de forma $a + ib$ con $a,b\in\mathbb{R}$
entonces
$a + ib = a - ib$
luego
$a + ib = a - ib / -(a)$
$+ ib = - ib$
notemos que el unico numero $\mathbb{R}$ que su aditivo y inverso aditivo son iguales es el $0$ pues si fuese lo contrario $\exists j \in \mathbb{R} ( -j = j \wedge j \neq 0)$ es falso ya que
$-2 = 2 / +(2) \Rightarrow 0 = 4$ pero $0 \neq 4$
entonces
$a + i0 = a - i0 \Rightarrow a = a$ como $a\in\mathbb{R}$
por lo tanto $z\in\mathbb{R}$
ahora supongamos que $z\in\mathbb{R}$ entonces
$\exists z^{'} \in \mathbb{C}(\Re(z^{'})=z \wedge \Im(z^{'}) = 0)$ entonces
sea $z^{'} = a + ib$ con $a,b\in\mathbb{R}$ entonces
$\overline{z^{'}} = a - ib$
ya demostramos que el unico numero $\mathbb{R}$ que su aditivo y inverso aditivo son iguales es el $0$, luego
$z^{'} = \overline{z^{'}}$ si $(b = 0 \wedge b\in\mathbb{R})$ pero $a = z = \Re(z^{'})$
por lo tanto $z^{'} = \overline{z^{'}} = z$ y como $(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}) \Rightarrow z\in\mathbb{C}$
por lo tanto si $z\in\mathbb{R} \Rightarrow z = \overline{z}$
por lo tanto $z = \overline{z} \Leftrightarrow z\in \mathbb{R}$