Progresiones

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresiones aritméticas


Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión.
De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escribirse en la forma:

(1)
\begin{align} a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, a_1 + 3d, \dots , \end{align}

en donde $a_1$ se llama primer término y $d$ es la diferencia.
Si $a_n$ representa el enésimo término de la sucesión (1), entonces:

el segundo término es $a_2= a_1 + d$
el tercer término es $a_3 = a_1 + 2d$
el cuarto término es $a_4 = a_1 + 3d$

y en general, el enésimo término es

(2)
\begin{equation} a_n = a_1 + (n-1)d \end{equation}

Ahora, vamos a obtener una expresión para la suma $s_n$ de los $n$ primeros términos de la sucesión (1), es decir, para la suma

(3)
\begin{align} s_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \dots + (a_n - 2d) + (a_n - d) + a_n \end{align}

Escribiendo los términos del segundo miembro de (3) en orden inverso, tenemos

(4)
\begin{align} s_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \dots + (a_1 + 2d) + (a_1 + d) + a_1 \end{align}

Sumando miembro a miembro (3) y (4), tenemos

(5)
\begin{align} 2s_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \dots + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) = n (a_1 + a_n) \end{align}

de donde

(6)
\begin{align} s_n = \dfrac {n}{2} (a_1 + a_n) \end{align}

Este resultado nos dice:

Teorema 1. Si en una progresión aritmética $a_1$ es el primer término, $a_n$ es el enésimo término, $d$ es la diferencia y $s_n$ la suma de los $n$ primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes

(7)
\begin{equation} a_n = a_1 + (n-1)d \end{equation}
(8)
\begin{align} s_n = \dfrac{n}{2} (a_1 + a_n) \end{align}

Utilizando estas dos relaciones, podemos obtener una segunda fórmula para $s_n$, que puede reemplazar a la relación (8):

$s_n = \dfrac{n}{2} (a_1 + a_n)$, pero $a_n = a_1 + (n-1)d$. En consecuencia,

$s_n = \dfrac{n}{2} (a_1 + a_1 + (n-1)d)$

Por lo tanto,

(9)
\begin{align} s_n = \dfrac{n}{2}\left[2a_1 + (n-1)d\right] \end{align}

La demostración del Teorema 1 puede efectuarse en forma rigurosa utilizando el método de inducción matemática.

Por demostrar:

  • $a_n = a_1 + (n-1)d$

Demostración:

Sea $d \neq 0 \in \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$

Primero, demostramos para $n=1$.

$P(1): a_1 = a_1 + (1-1)d$

$P(1): a_1 = a_1 + 0d$

$P(1): a_1 = a_1$

Queda así demostrado que para $n=1$ la igualdad se cumple.

A continuación, procedemos a encontrar nuestra hipótesis para un $k$ arbitrario tal que $k \in \mathbb{N}$

$P(k): a_k = a_1 + (k-1)d$.

Luego, encontramos nuestra tésis para $k+1 \in \mathbb{N}$

$P(k+1): a_{k+1} = a_1 + (k+1-1)d$

$P(k+1): a_{k+1} = a_{1} + kd$.

Ahora, procedemos a demostrar nuestra tésis

Como $a_{k+1}$ es el sucesor de $a_k$ (Nuestra hipótesis), significa que $a_k + d = a_{k+1}$

Entonces,

$a_k + d = a_{k+1}$

$\Leftrightarrow [a_1 + (k-1)d] + d = a_{k+1}$

$\Leftrightarrow a_1 + kd - d + d = a_{k+1}$

$\leftrightarrow a_1 + kd = a_{k+1}$

Y como $a_{k+1} = a_1 + kd$, entonces

$\leftrightarrow a_1 + kd = a_1 + kd$.

Queda entonces demostrado que la tésis inductiva se cumple para $k+1 \in \mathbb{N}$.

Por lo tanto, queda demostrado que la ecuación $a_n = a_1 + (n-1)d$ se cumple $\forall n \in \mathbb{N}$.

Ahora, demostraremos la segunda parte del Teorema 1.

Por demostrar

  • $s_n = \dfrac{n}{2} (a_1 + a_n)$

Progresiones Geometricas


Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija llamada razón

se puede obtener la razón por la siguiente fórmula:

(10)
\begin{equation} r = a_n / a_n_-_1 \end{equation}

en una progresión geométrica, se puede encontrar en n-ésimo término con 2 formulas, las cuales son:

1) para encontrar el n-ésimo término, a partir del 1er término

(11)
\begin{equation} a_n = a_1·r^n^-^1 \end{equation}

2) para encontrar el n-ésimo término, a partir de cualquier otro término de la progrsión

(12)
\begin{equation} a_n = a_k·r^n^-^k \end{equation}

la sumatoria de una progresion geometrica se puede calcular de diferentes maneras, una de las mas generales de ellas es:

(13)
\begin{equation} S_n = (a_n · r - a_1) / r - 1 \end{equation}

también se puede calcular el producto de "n" términos equidistantes de una progresión, con la siguiente fórmula:

(14)
\begin{align} x_i=\sqrt[n]{(a_1 · a_n)^n} \end{align}
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