Sumatorias

Simbología

El objetivo de la notación de sumatoria es precisar y hacer más compacta la presentación de sumas con un gran número de sumandos. El número de sumandos incluso puede no estar definido por un número concreto sino por una expresión algebraica.

Definición recursiva:

Dada una sucesión de números $a_k$ definimos:

(1)
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^1{a_k}&=&a_1\\ \sum_{k=1}^{n+1}a_k&=&\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)+a_{n+1} \end{eqnarray}

Ejemplos

(2)
\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{5}k&=&1+2+3+4+5\\ \sum_{n=2}^{5}n^2&=&4+9+16+25\\ \sum_{n=1}^{k}\frac1n&=&1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1k\\ \end{eqnarray}

Propiedades de las sumatorias

la sumatoria de una variable por una constante es la constante por la sumatoria de la variable:

(4)
\begin{align} \sum^n_{l=1}K · l=K\sum^n_{l=1}l \end{align}

la sumatoria de una constante es igual a la constante por el indice superior de la sumatoria

(5)
\begin{align} \sum^n_{l=1}K=n · K \end{align}

la sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias

(6)
\begin{align} \sum^n_{l=1}(X+Y)=\sum^n_{l=1}X + \sum^n_{l=1}Y \end{align}

la sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias

(7)
\begin{align} \sum^n_{l=1}(X·Y)\neq\sum^n_{l=1}X·\sum^n_{l=1}Y \end{align}

la sumatoria de un cuadrado no es igual al cuadrado de la sumatoria

(8)
\begin{align} \sum^n_{l=1}(X)^2\neq\left(\sum^n_{l=1}X\right)^2 \end{align}

Sumatorias resueltas

(9)
\begin{align} \sum^n_{P=1}P=\frac{n(n+1)}{2} \end{align}
(10)
\begin{align} \sum^n_{p=q}P=\frac{(n+q)(n-q+1)}{2} \end{align}
(11)
\begin{align} \sum^n_{p=1}2P=n(n+1) \end{align}
(12)
\begin{align} \sum^n_{p=1}2P-1=n^2 \end{align}
(13)
\begin{align} \sum^n_{p=1}4P-1=n(2n+1) \end{align}
(14)
\begin{align} \sum^n_{p=1}4P=2n(n+1) \end{align}
(15)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align}
(16)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P(P+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{align}
(17)
\begin{align} \sum^n_{p=1}\frac{1}{P(P+1)}=\frac{P}{(P+1)} \end{align}
(18)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{align}
(19)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^3+3n-1)}{30} \end{align}
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