Sumatorias
Simbología
El objetivo de la notación de sumatoria es precisar y hacer más compacta la presentación de sumas con un gran número de sumandos. El número de sumandos incluso puede no estar definido por un número concreto sino por una expresión algebraica.
Definición recursiva:
Dada una sucesión de números $a_k$ definimos:
(1)\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^1{a_k}&=&a_1\\ \sum_{k=1}^{n+1}a_k&=&\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)+a_{n+1} \end{eqnarray}
Ejemplos
(2)\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{5}k&=&1+2+3+4+5\\ \sum_{n=2}^{5}n^2&=&4+9+16+25\\ \sum_{n=1}^{k}\frac1n&=&1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1k\\ \end{eqnarray}
Propiedades de las sumatorias
la sumatoria de una variable por una constante es la constante por la sumatoria de la variable:
(4)\begin{align} \sum^n_{l=1}K · l=K\sum^n_{l=1}l \end{align}
la sumatoria de una constante es igual a la constante por el indice superior de la sumatoria
(5)\begin{align} \sum^n_{l=1}K=n · K \end{align}
la sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias
(6)\begin{align} \sum^n_{l=1}(X+Y)=\sum^n_{l=1}X + \sum^n_{l=1}Y \end{align}
la sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias
(7)\begin{align} \sum^n_{l=1}(X·Y)\neq\sum^n_{l=1}X·\sum^n_{l=1}Y \end{align}
la sumatoria de un cuadrado no es igual al cuadrado de la sumatoria
(8)\begin{align} \sum^n_{l=1}(X)^2\neq\left(\sum^n_{l=1}X\right)^2 \end{align}
Sumatorias resueltas
(9)\begin{align} \sum^n_{P=1}P=\frac{n(n+1)}{2} \end{align}
(10)
\begin{align} \sum^n_{p=q}P=\frac{(n+q)(n-q+1)}{2} \end{align}
(11)
\begin{align} \sum^n_{p=1}2P=n(n+1) \end{align}
(12)
\begin{align} \sum^n_{p=1}2P-1=n^2 \end{align}
(13)
\begin{align} \sum^n_{p=1}4P-1=n(2n+1) \end{align}
(14)
\begin{align} \sum^n_{p=1}4P=2n(n+1) \end{align}
(15)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align}
(16)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P(P+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{align}
(17)
\begin{align} \sum^n_{p=1}\frac{1}{P(P+1)}=\frac{P}{(P+1)} \end{align}
(18)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{align}
(19)
\begin{align} \sum^n_{p=1}P^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^3+3n-1)}{30} \end{align}
page revision: 8, last edited: 17 May 2010 11:36
No entiendo la definición, ¿alguien podría aclararla un poco más?
Antonio Behn
Profesor de Álgebra y Geometría 2010
Eso significa que,
(3)Por lo tanto,
(4)Pero,
(5)En consecuencia,
(6)Ahí está el por qué. No sé si esa era su duda XD.
gracias Larax
Antonio Behn
Profesor de Álgebra y Geometría 2010